Guten Tag!（グーテン・ターク）、科学の国からやってきました、ミクでーす。
ドイツの科学は世界一ぃいい！って、今はエコとグリーンの国だよね。
日本はどうなんだろーね。

ドイツにはたくさんの天才さんがいるんだけど、
その中でもひときわ輝いているのが「数学の帝王、ガウス」。
そのガウスの名前が付いているのが、別名「ガウス分布」の「正規分布」。
今日の一曲は、そんな正規分布の歌でーす。

ううっ、むずかしー記号ばっかりで、涙がこぼれそう。
とっ、とにかく公式をそのまま書いてみるね。

なんじゃこりゃぁああ！　こんなの覚えられっかぁあああああ！
って、覚えられないから歌にしてみたんですけど・・・
実は、こんな公式丸暗記する必要はぜんっぜんないの。
かしこーい人は、その場でパパッと組み立てちゃうんだよ。
ほえーっ、そんなのとてもできないよって？
だいじょーぶ、ミクにおまかせっ！

組み立てるんじゃなくて、反対にこの難しい式を分解してみるね。
ここで、ぜったいにいるのがグラフのイメージ。
イメージのない数学なんて、歌を忘れたミクみたいなもの。
正規分布のグラフは、こんなかんじになってまーす。

まずは第１ヒント、「μ(ミュー)は平均」。
もし平均がゼロだったら、少しだけ式がかんたんになるよね。
(x - μ)^2 のところが、 x^2 ってなるの。
さーて、ここで問題！
「式の中にある x を、ぜーんぶ (x + 3) に置き換えたら、グラフの形はどうなっちゃうかな？」
答：「３だけマイナス方向にシフトする」
これって、なんとなーくわかるよね。
３だけゲタ履かせてあげたんだから、もともとの x は、３だけ少なかったってこと。
３だけハンディをもらったってことだね。
式のプラス３は、グラフのマイナス３シフトって、逆になるから要注意。
これがわかると、(x - μ) の意味もわかっちゃうんだな。
もともと０が平均だったグラフを、μだけシフトして右にもってきましたよー、ってこと。
平均を０にしちゃえば、式はこんなふうになりまーす。

次に、第２ヒント、「σ(シグマ)は偏差」。
偏差ってなんだったかなーっていうと、「平均点からの距離」、ばらつきのことだったね。
これってグラフで見ると、まんなかからどれだけ離れているか、つまり「太っちょ」かってこと。
σが大きいと太り気味、小さいとダイエット！
もしσが１だったら、もう少しだけ式がかんたんになるよね。
さーて、ここでまたまた問題！
「式の中にある x を、ぜーんぶ 3 x に置き換えたら、グラフの形はどうなっちゃうかな？」
答：「1/3 にダイエットする」
これも、なんとなーくわかるかなー。 ３だけふくらませてあげたんだから、もともとの x は、３だけ細かったってこと。
３だけハンディをもらったってことだね。
式の３倍は、グラフの1/3って、逆になるから要注意。
これがわかると、(x^2 / (2 σ^2)) ってあたりの意味もわかっちゃうんだな。
もともと太さ１だったグラフを、σだけふくらませたよー、ってこと。
偏差を１にしちゃえば、式はこんなふうになりまーす。

ここまできたんだから、ついでに x^2 / 2 の下に残った２もとっちゃおう。
この２の意味は、右と左に２つありますよってこと。
２をとっちゃうと、太さも半分になっちゃいます。

あれっ、どさくさにまぎれて前の方の数字もなくなってるぞ、
って、気付いちゃった？
これって、どさくさで消しちゃったんじゃなくって、ちゃーんと意味があるんだけど、それは最後にねっ。
とりあえず今は、1/(√π) ってとこは、謎の数字Ｓってことにしちゃいます。

ここまでくれば、もう怖くない形になったでしょ。

こうやってどんどん分解してくと、正規分布ってけっきょくは

ってことだったんだ。
あとの数字は、太さと位置を調整しているだけだったんだね。
もっと分解しちゃうと、正規分布は
　・exp( - x ) と
　・x^2 の組み合わせ
ってことになるね。

じゃあ exp( - x ) って、どんな形だったっけ。
exp(x) っていうのは「指数関数」だったよね。
ねずみ算式に１匹が２匹、２匹が４匹、４匹が８匹、８匹が１６匹って、倍々に増えてくのが指数。
exp(x) は、２倍じゃなくて、2.71828...倍っていう半端な数で増えてくの。
で、これにマイナスが付いた exp( - x ) っていうのは、逆に
半分の1/2、そのまた半分の1/4、そのまた半分の1/8、そのまた半分の1/16、ってだんだん減ってく形なの。
正規分布の山の裾野が、富士山みたいにダラーッて減ってくのは、この exp( - x ) の形だね。

でも、ただ exp( - x ) だけだと、片っ方だけ、右側だけしか減らないよ。
そこで、左右両側が同じように減りますようにって、出てきたのが x^2 。
二乗ってすると、マイナスｘマイナス＝プラスだから、左右の形がはねっ返りで同じになるんだ。

これでわかっちゃた、正体見たりっ！
正規分布っていうのは、
　「左右がおんなじで、だんだん減っていく形」
だったんだ・・・って、そのままじゃん！

これでもう、正規分布のむずかしそーな式がわかっちゃった。
でも、まだ大切なものが抜けてるよ。
それは、式の意味。
この式は、いったい何なのかなー？

ずばり、答えちゃいます。
正規分布とは、ランダムウォークだったのです！
ランダムウォークとはいったりきたりの青春の悩み。
忘れちゃった人は、もう１度、
　「第４話 いったりきたり、乙女心はランダムウォーク」
を見てね。

ランダムウォークっていうのは、一歩となりで半分、二歩となりで半分の半分、三歩となりでそのまた半分、
半分の半分の半分、って、遠くに行くほど減ってくるでしょ。
これって、式でいうと exp( - x ) と同じだよね。

そして、ランダムウォークでは「対角項だけ残るから」、二乗のところだけが平均して意味があるの。
だから二乗、x^2 。

exp( - x ) と x^2 を組み合わせて、正規分布のできあがりっ！
じっさいに、５０％でいったりきたりの足跡をてんてんてん、って残していったら、
足跡はいつのまにか正規分布の形になっちゃうんだ。
ためしにパソコンでてんてんてん、ってやってみると、おもしろいよっ！

さて、最後に残った「謎の数字Ｓ」に挑んじゃいます。

とっころで、「確率ってなんだろな？」
それは、「全部足して１になる数のこと」でした。
忘れちゃった人は、もう１度、
　「第１話　確率ってなんだろな、当たれば１００％かな？」
を見るよろし。
Ｓって数字は、exp( - x^2 ) を全部足して１になるように、調整する数字だったのです。
グラフでいうと、高さのこと。
exp( - x^2 ) の面積がちょうど１になるように、高さをうまーく調整してねってこと。
なので、Ｓの答は、 exp( - x^2 ) の面積がわからないといけません。
でもでも、この計算はとっても難しいの。
なので、ここだけは丸暗記しちゃいます。

　「エキスポネンシャルマイナスＸ(エックス)二乗を　積分するとルートπ(パイ)」

答は、なんと√π。
πって、あの円周率の3.1415...のこと。 なんでこんなところに円周率が？！って、とっても不思議だね。
Ｓは１になるように調整する数字だから、1/√π。

なんか、√π の計算がとーっても気になるぞって？
しょーがないから、いちおー書いておくけど・・・教科書の丸写しっ！

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☆ 神秘の計算 （こんなの絶対思いつかないぞ！）

求める答を I とおいて、何を思い立ったか I^2 を計算してみる。
　I^2 = ∫Exp(- x^2) dx・∫Exp(- y^2) dy
　= ∫∫ Exp(- (x^2+y^2)) dx dy

局座標変換
　x = r cos θ, y = r sin θ とおくと
　x^2 + y^2 = r^2, dx dy = r dr dθ だから
　I^2 = ∫[0〜2π] ∫[0〜∞] Exp(- r^2)・ｒ dr rθ
　= 2π [ - 1/2・Exp(- r^2) ][0〜∞] = π

よって
　I = √π
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なんだかぜんぜんわかんない？
どーしても知りたいって人は、将来出るかもしれない「ミクの歌って覚える微分積分」に、乞うご期待！

今回は教科書ちっくで、ギャグが少なかったね・・・
でも、ドイツ人はまじめなんだから、これでいいのっ！
そんじゃね、Tschuess!（チュス）